В прямоугольнике ABCD имеются стороны АВ=13 и АD=53.Диагональ пересекаются в точке О.Найдите длину суммы...

Длина суммы векторов АО и ВО равна длине диагонали прямоугольника ABCD, то есть 54.

Для того чтобы найти длину суммы векторов АО и ВО, нам нужно сначала найти векторы AO и BO.

Для этого найдем координаты точек A, B, C, D и O. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), тогда точка B имеет координаты (13, 0), точка D имеет координаты (0, 53). Так как прямоугольник ABCD, то точка C имеет координаты (13, 53).

Теперь найдем координаты точки O. Для этого найдем середины сторон AC и BD. Середина стороны AC имеет координаты ((0 + 13) / 2, (0 + 53) / 2) = (6.5, 26.5), а середина стороны BD имеет координаты ((0 + 13) / 2, (0 + 53) / 2) = (6.5, 26.5). Точка O – точка пересечения диагоналей, поэтому ее координаты (6.5, 26.5).

Теперь найдем векторы AO и BO. Вектор AO имеет координаты (6.5 - 0, 26.5 - 0) = (6.5, 26.5), а вектор BO имеет координаты (6.5 - 13, 26.5 - 0) = (-6.5, 26.5).

Теперь найдем длину векторов AO и BO. Длина вектора AO равна √(6.5^2 + 26.5^2) ≈ 27.1, а длина вектора BO равна √((-6.5)^2 + 26.5^2) ≈ 27.1.

Наконец, найдем длину суммы векторов АО и ВО. Для этого сложим векторы AO и BO, получим вектор (6.5 - 6.5, 26.5 + 26.5) = (0, 53), а его длина √(0^2 + 53^2) = 53.

Итак, длина суммы векторов АО и ВО равна 53.

Для решения задачи, связанной с векторами и геометрией прямоугольника, давайте разберемся с основными свойствами прямоугольника и векторов.

1. Свойства прямоугольника:

   • Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
   • Противоположные стороны прямоугольника равны: ( AB = CD ) и ( AD = BC ).
   • Диагонали прямоугольника равны по длине и пересекаются в точке, которая является их серединой.

2. Длины сторон:

   • У нас есть прямоугольник ABCD, где ( AB = 13 ) и ( AD = 53 ).

3. Диагонали:

   • Так как диагонали равны и пересекаются в точке O, то каждая диагональ делится точкой O пополам.
   • Длина диагонали ( AC ) (или ( BD ), так как они равны) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{13^2 + 53^2} = \sqrt{169 + 2809} = \sqrt{2978} ]

4. Векторы:

   • Рассмотрим векторы ( \vec{AO} ) и ( \vec{BO} ).
   • Поскольку O — середина диагонали, то ( O ) делит диагональ пополам, и следовательно, ( AO = \frac{AC}{2} ) и ( BO = \frac{BD}{2} ).
   • Векторная сумма ( \vec{AO} + \vec{BO} ) в контексте прямоугольника, где диагонали равны и пересекаются в середине, оказывается равной вектору, ведущему из точки ( A ) в точку ( B ). Это связано с тем, что векторы ( \vec{AO} ) и ( \vec{BO} ) по сути компенсируют друг друга, приводя к переходу от точки ( A ) к точке ( B ).

5. Сумма векторов:

   • Таким образом, сумма векторов ( \vec{AO} + \vec{BO} ) равна вектору ( \vec{AB} ).
   • Длина вектора ( \vec{AB} ) равна длине стороны ( AB ), то есть 13.

Итак, длина суммы векторов ( \vec{AO} + \vec{BO} ) равна 13.