длина дуги стягиваемой хордой равна 30 пи см а угол образованный этой хордой и радиусом проведённым через его конец равен 15 градусов. найдите площадь сектора ограниченного этой дугой.
длина дуги стягиваемой хордой равна 30 пи см а угол образованный этой хордой и радиусом проведённым через его конец равен 15 градусов. найдите площадь сектора ограниченного этой дугой.
Для решения данной задачи нам необходимо найти радиус окружности, на которой лежит данная дуга.
Известно, что длина дуги стягиваемой хордой равна 30π см, а угол образованный хордой и радиусом равен 15 градусов.
Длина дуги выражается формулой L = rα, где L - длина дуги, r - радиус окружности, α - центральный угол в радианах. Учитывая, что угол α = 15 градусов = π/12 радиан, подставляем известные значения и находим радиус: 30π = r (π/12), r = 360/12 = 30 см.
Теперь можем найти площадь сектора ограниченного данной дугой. Площадь сектора вычисляется по формуле S = (1/2) r^2 α, где S - площадь сектора, r - радиус, α - центральный угол в радианах. Подставляем значения: S = (1/2) 30^2 (π/12) = 450π/12 = 37.5π см^2.
Итак, площадь сектора ограниченного данной дугой равна 37.5π квадратных сантиметров.
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа данных и использования формул из геометрии круга.
Сначала найдем радиус окружности. Из условия известно, что длина дуги окружности равна (30\pi) см. Формула длины дуги ( L ) окружности с радиусом ( R ) и центральным углом ( \theta ) в радианах: [ L = R \theta ]
Угол дан в градусах (15 градусов), поэтому его нужно перевести в радианы (поскольку ( 1 ) градус = ( \frac{\pi}{180} ) радиан): [ \theta = 15^\circ = 15 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \, \text{радиан} ]
Подставим известные значения в формулу длины дуги: [ 30\pi = R \cdot \frac{\pi}{12} ] [ R = 30 \cdot 12 = 360 \, \text{см} ]
Теперь найдем площадь сектора, ограниченного этой дугой. Площадь сектора ( A ) с радиусом ( R ) и центральным углом ( \theta ) в радианах вычисляется по формуле: [ A = \frac{1}{2} R^2 \theta ] [ A = \frac{1}{2} \cdot 360^2 \cdot \frac{\pi}{12} ] [ A = \frac{1}{2} \cdot 129600 \cdot \frac{\pi}{12} ] [ A = 5400 \cdot \frac{\pi}{2} ] [ A = 2700\pi \, \text{см}^2 ]
Таким образом, площадь сектора, ограниченного данной дугой, составляет (2700\pi) квадратных сантиметров.
Площадь сектора ограниченного данной дугой равна 75π квадратных сантиметров.
